☛ Encadrements

Énoncé

On considère un nombre réel \(x\) tel que \(2\leq x\leq3\).
1. Donner un encadrement de \(4x^2+1\).
2. Donner un encadrement de \(\dfrac{1}{x+3}\).
3. Donner un encadrement de \((x+2)^3\).
4. Donner un encadrement de \(\sqrt{x-1}\).

Solution 

Soit un nombre réel \(x\) tel que \(2\leq x\leq3\).

1. 

  \(\begin{align*}2\leq x\leq3&\Leftrightarrow4\leq x^2\leq9\text{ car la fonction carré est croissante sur }[~0~;~+\infty~[\\&\Leftrightarrow16\le 4x^2\le36\\&\Leftrightarrow17\le4x^2+1\le37\end{align*}\)

2.

 \(\begin{align*}2\leq x\leq3&\Leftrightarrow5\leq x+3\leq6\\&\Leftrightarrow\dfrac{1}{5}\ge \dfrac{1}{x+3}\ge\dfrac{1}{6}\text{ car la fonction inverse est décroissante sur }[~0~;~+\infty~[\end{align*}\)

3. 

\(\begin{align*}2\leq x\leq3&\Leftrightarrow4\leq x+2\leq5\\&\Leftrightarrow64\le (x+2)^3\le125\text{ car la fonction cube est croissante sur }[~0~;~+\infty~[\end{align*}\)

4. \(\begin{align*}2\leq x\leq3&\Leftrightarrow1\leq x-1\leq2\\&\Leftrightarrow\sqrt{1}\le \sqrt{x-1}\le\sqrt{2}\text{ car la fonction racine carrée est croissante sur }[~0~;~+\infty~[\\&\Leftrightarrow1\leq\sqrt{x-1}\leq\sqrt{2}\end{align*}\)